L'élongation correspondante est alors : x1 = − a0 + 2 F k = a1. 14 |. Cas non-linéaire : l'idée du couplage, résonances. Systèmes linéaires à plusieurs degrés de liberté (2 séances) Solution générale par les utils matriciels. Cependant, il permet déjà de retrouver un certain nombre de résultats et de traiter des cas particuliers importants qui sont détaillés . | Réponse
Soient , k variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales de moyennes respectives et d'écart-type ; leurs variables centrées et . les pulsations des
Modélisation de l'oscillateur mécanique à deux degrés de liberté, équations différentielles couplées, côté obscur On désigne par
Tweet Share Comment physique spe cours By mohcine v o l c vendredi, novembre 17, 2017. . dont les constantes de torsion sont . degrés de liberté. 2!2) (2.18) 2.3 Système à deux degrés de liberté On considère maintenant deux oscillateurs mécaniques couplés comme représenté à la figure 2.2. Travaux Dirigés de M3 - PCSI2 C'est une équation d'oscillateur harmonique à un degré de liberté (équation . Trouvé à l'intérieur – Page 142pour T < 0rot = 2,9 K (3 degrés de liberté possibles, les trois directions de l'espace). ... Le modèle d'Einstein (1907) décrit les atomes comme des oscillateurs harmoniques quantiques indépendants et donne une évolution de C,m avec T ... Cependant \(x\) ne peut s’annuler pour un temps infini. 1. Remarque. Donc on a : t=0, x=0 et x v 0 Calculer la période propre du . 2) Trouver, pour les différents systèmes,
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Construire la courbe . Khi 2. Trouvé à l'intérieur – Page 687Comme on l'a vu précédemment, chaque élément du vecteur r est égal à 1, c'est-à-dire ri = 1,i = 1,2,...,n dans le cas d'une structure dont tous les degrés de liberté sont dans la direction horizontale x, comme l'illustre la figure 19.15 ... par des ressorts) suivant une direction. 2.1.1. Trouvé à l'intérieur – Page 72ω 0 = 1 1 ≈ 1 3 1 + 1 + 1 1 2 3 [3.17] La condition d'oscillation [3.18] est inchangée par rapport à ce qui a été ... Par rapport à la configuration précédente, on dispose donc d'un degré de liberté supplémentaire pour choisir la ... Si \(a\) est petit, \(v=0\) pour : \(\omega~t\cong\pi/2\). et exprimer une constante pour les mouvements. Introduction. Système d'oscillateurs harmoniques couplés linéairement. constants ? 2 0 obj
La méthode de résolution de ce problème peut aussi être étendue à des systèmes comportant de nombreux degrés de libertés, y Constante de temps de l’oscillateur, 3.3.4. cylindre 2 étant initialement au repos à sa position d�équilibre,
Trouvé à l'intérieur – Page 513REMARQUES 2 (i) Même dans l'état fondamental, la fonction d'onde d'un oscillateur harmonique a une extension finie de ... pour que les degrés de liberté de vibration et de rotation soient découplés est donc que : h 2mm < r” (7) (ii) La ... Considérons une oscillation très amortie, où l’amplitude est divisée par \(e\) à chaque oscillation. Dans le cadre d'un premier TP, la priorité doit être donnée aux montages électriques et aux pendules couplés, en s'efforçant de bien comprendre toutes Trouvé à l'intérieur – Page 195En revanche, pour un système a trois degrés de liberté, deux trajectoires dans un espace de phase a 3 dimensions ont ... (voir équation 8.5) peut engendrer le chaos, a la différence d'un oscillateur de van der Pol (voir équation 5.4). Cet oscillateur à un degré de liberté est soumis à un accélérogramme t horizontal en son support (point A). Trouvé à l'intérieur – Page 251... phase , déphasage pulsation relative d'une force extérieure harmonique ( = 0/0 ) amplitude relative de la coordonnée xi ( t ) du mode propre de rang p ( Pir , idem rang r ) vecteurs propres d'un oscillateur à 2 degrés de liberté ... 2.1 Oscillateurs libres Un système oscillant en absence de toute force d'excitation, est appelé oscillateur libre. L'énergie potentielledu système, dite harmonique, est de forme parabolique : Ep= 1. Le système de ressorts et de masses envisagés
Dans tout ce qui précède, qu'il s'agisse de filtres électriques ou filtres mécaniques, nous avons établi que l'équation de . 22 | Réponse
Ce thème sert comme une transitions aux ondes (systèmes au nombre infinie des degrés de liberté). L'oscillateur harmonique est un . Conclusions. Partant de la relation : \[\omega~t=\pm\arcsin\sqrt{1-\alpha^2}\], on peut écrire : \[x=\pm a~\sqrt{1-\alpha^2}~\exp(-\alpha~\omega_0~t)\]. Ces forces et couples dont les travaux sont constamment négatifs sont les forces de frottement, forces qui ne sont pas toujours définies simplement. Dans ces conditions, le système (3.2) s'écrit : x 0 M M x dt d x 2 2 ab 1 2 2 a 1 1 2 (3.4) x 0 dt d x x M M 2 2 b 2 ab 1 2 1 Les solutions seront obtenues sous la forme de combinaisons linéaires de deux solutions particulières linéairement indépendantes. A- Oscillateurs libres non amortis à 2 D.D.L. → On obtient bien 2 oscillateurs indépendants1. Oscillateurs à deux degrés de liberté. posera ; Résoudre
3 |. L'oscillateur à 1 degré de liberté est constitué d'un bloc rigide, de masse M connecté à un . IV.1 Systèmes à 2 degrés de liberté Pour l'étude des systèmes à deux degrés de liberté, il est nécessaire d'écrire deux équations différentielles du mouvement que l'on peut obtenir à partir des équations de Lagrange : Un système à 2 degrés de liberté possède 02 coordonnées généralisées, 02 équations différentielles et 02 pulsations propres ( . L’arrêt se produit lorsque, à vitesse nulle, la force de frottement maximale \(F\) est supérieure à la force élastique correspondante : \[\frac{K}{k}>|a_1|\], c’est-à-dire lorsque le point de vitesse nulle est situé entre les droites : \[(\Delta),~(\Delta')~:\quad x=\pm\frac{F}{k}\], Comme d’autre part les points de vitesse nulle sont situés sur les droites \((D)\) et \((D')\), cherchons l’abscisse commune des points \(C\) et \(C'\) de rencontre des droites \(\Delta\) et \(D\) ou des droites \(\Delta'\) et \(D'\) : \[a_0-4~\frac{\tau}{T}~\frac{F}{k}=\frac{F}{k}\qquad\Rightarrow\qquad\tau=\Big(\frac{a_0-F/k}{F/k}\Big)~\frac{T}{4}\], L’arrêt se produit au temps \(m~T/2\), entier immédiatement supérieur au temps \(\tau\) : \[m~\geq~\frac{1}{2}~\Big(\frac{a_0-F/k}{F/k}\Big)=\frac{1}{2}~\Big(\frac{k~a_0}{F}-1\Big)\], L’élongation correspondante, comprise entre \(F/k\) et \(-F/k\) a pour valeur : \[x=(-1)^m~\Big(a_0-2~m~\frac{F}{k}\Big)\]. Quand le mouvement est amorti, on a \(\Delta'<0\). Oscillateurs linéaires . Ondes nondispersives (2 séances) - La corde. Ce système admet une solution unique si x 0 et v 0 sont donnés. Le mobile \(A_1\) à l’instant \(T/2\) est soumis à la force élastique de grandeur \(k~a_1\) dirigée dans le sens \(A_{1,0}\). ω 0.dx / dt + ω 0 2.x = (f 0 . On sait que : \[\tan V=\frac{d\rho}{\cfrac{d\rho}{d\theta}}=\rho~\frac{d\theta}{d\rho}=\omega~\rho~\frac{dt}{d\rho}\], Or, on a par ailleurs : \[\frac{d\rho}{dt}=-\alpha~\omega_0~\rho\quad\Rightarrow\quad\tan V=\frac{\omega}{\alpha~\omega_0}\], Soit encore : \[\beta=V-\frac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad \tan\beta=\frac{\alpha~\omega_0}{\omega}=cte\]. Donc, de l’instant \(T/2\) à l’instant \(T\), la courbe représentative du mouvement est l’arc de sinusoïde \(A_1B_2A_2\) de centre \(B_2\) (\(t=3T/4~;~x=-F/k\)) se raccordant à l’instant \(T/2\) à l’arc de sinusoïde \(A_0B_1A_1\). 1 - Pendules de torsion couplés par élasticité. Trouvé à l'intérieur – Page 163Poincaré a montré que les systèmes présentant des résonances entre les degrés de liberté ne sont pas intégrables. ... comme par exemple l'interaction d'un oscillateur électromagnétique avec le champ aux degrés de liberté infinis et bien ... À l’instant T, on a : \[x=a_0-\frac{4~F}{k}\], En définitive, le mouvement est représenté par des arcs de sinusoïde se raccordant aux instants \(T/2,~2T/2,~3T/2,~\dots\) aux points d’élongation : \[a_0,~-\Big(a_0-\frac{2~F}{k}\Big),~\Big(a_0-\frac{4~F}{k}\Big),~\dots\]. Un oscillateur harmonique est un oscillateur idéal dont l'évolution au cours du temps est décrite par une fonction sinusoïdale, dont la fréquence ne dépend que des caractéristiques du système et dont l'amplitude est constante.. Ce modèle mathématique décrit l'évolution de n'importe quel système physique au voisinage d'une position d'équilibre stable, ce qui en fait un outil . Oscillations forcées de systèmes à 1 ou 2 degrés de liberté : exemples, étude détaillée du régime permanent . retourne vers son . Oscillations forcées des systèmes à 1 et 2 degrés de liberté : exemples, étude détaillée du régime permanent, aspects énergétiques et résonnance, couplage d'oscillateurs, applications. oscillateur) composé d'une masse M, d'un ressort de raideur K et d'un amortisseur de constante (voir figure 2.1). 2 kx. Ce couplage produit de nouveaux et d'importants effets physiques ; le . Vibrations . On dit que le mouvement est critique. endobj
Soit à trouver la position d’équilibre de la partie mobile d’un appareil de mesure. de sa position d�équilibre et abandonné sans vitesse, le
notera les déplacements,
oscillateur mÉcanique couplÉ À deux degrÉs de libertÉ 9 1.1.5 Approfondissement : notion de modes propres L'étude précédente montre que, quelles que soient les conditions initiales imposées sur le système, la réponse de Trouvé à l'intérieur – Page 1942 [5] ~ La relation force-déplacement de la structure réelle et de l'oscillateur à un seul degré de liberté sont considérées de type élasto-plastique. On peut noter que les valeurs de μ ~ varient de 1 à μ (Aviles et Perez-Rocha, 2003), ... Définition (ou équation du mouvement) Tout système dont l'évolution temporelle de la position x(t) est régie par l'équation différentielle x¨ + ω0 Q x˙ +ω0 2x(t)=ω 0 2x eq où • ω0 (en rad.s−1) est la pulsation propre du système • Q (sans unité) est le facteur de qualité du système • ξ= 1 2 Q (sans unité) est le . 23 | Réponse
OSCILLATEURS MÉCANIQUES À 2 DEGRÉS DE LIBERTÉ (OU OSCILLATEURS COUPLÉS). \(\alpha=1\) : Mouvement apériodique \[\frac{L~\omega_0}{R}=\frac{1}{2}\], \(\alpha<1\) : Mouvement oscillatoire amorti \[\frac{L~\omega_0}{R}>\frac{1}{2}\]. On lance le système avec une vitesse initiale v 0 =25cm/s. s'il dissipe de l'énergie quand il . Oscillateur linéaire à un degré de liberté. 2. Couplage de 2 systèmes à 1 degré de liberté Le cas du couplage de deux systèmes à un degré de liberté est abordé ici. Au bout d’un certain temps : \(x\approx B~\exp(r_2~t)\), donc \(x\rightarrow 0\) quand \(t\rightarrow 0\) et le mouvement est apériodique. Université Cadi Ayyad (Marrakech - Maroc). Figure N° 2.1: Oscillateur amorti à 1 degré de liberté Force de rappel élastique : Le ressort, de rigidité k et de longueur l o au repos, exerce une force de rappel supposée élastique, proportionnelle à l'allongement du ressort (x - l 0), dirigée suivant ox & et d'intensité -k(x - l 0). y2 + x2 r0 −2xy v0x r2 0v0y = 1 → Cl : La trajectoire est donc une ellipse centrée en O. On dit que le système est couplé. une intégrale première du mouvement et exprimer une constante
Il serait fastidieux de vous expliquer comment est calculée cette table. Oscillateurs à plusieurs degrés de liberté, 1 � Pendules de torsion couplés par élasticité. DÉFINITION Un système en oscillation est à deux degrés de liberté (ddl) si deux paramètres sont nécessaires et suffisants pour décrire son mouvement. D’où la solution : \[x=\exp(r~t)(A+B~t)=\exp(-\alpha~\omega_0~t)~(A+B~t)\]. \(\theta\) est l’intervalle de temps au bout duquel l’amplitude a été divisée par \(e\). 2 . Pour un problème à un degré de liberté x, la deuxième loi de Newton donne. Ordre de grandeur de la variation de période, Propagation des ondes électromagnétiques, Physiques atomique, moléculaire et nucléaire. OSCILLATIONS LIBRES DE 2 OSCILLATEURS MECANIQUES COUPLÉS NON AMORTIS 2.1.1. Trouvé à l'intérieurCela signifie que le mouvement de l'ensemble des oscillateurs peut être décrit comme une superposition des mouvements ... est un des outils principaux d'analyse d'un système composé de plusieurs degrés de liberté. ... 1 1 k M 0 1 −2 . Energie potentielle - Energie Mécanique - Problèmes à un degré de liberté (2) Oscillateur harmonique - Régime libre ; Oscillateur harmonique - Régime sinusoïdal forcé ; Dynamique du point en référentiel galiléen (suite) Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives Notions de degrés de libertés et degrés de liaison 2.1. Oscillateur linéaire à un degré de liberté 1/5 Y Elmokhtari du mouvement. Mouvement sinusoïdal amorti (a < 1), 3.3.3. Oscillateur linéaire à un degré de liberté Télécharger d'ici . Les relations de solution sont identiques aux précédentes (mécaniques) à savoir : Équation du mouvement : \[x=a~\exp(-\alpha~\omega_0~t)~\cos(\omega~t+\varphi)\], Décrément logarithmique : \[\delta~\cong~2~\pi~\alpha\], Constante de temps : \[\theta=\frac{1}{\alpha~\omega_0}=\frac{2~L}{R}\], 3. 1.5.Degré de liberté : On appel degré de liberté (ddl) d'un système la capacité de ce système d'effectuer le mouvement de translation et de rotation par rapport aux axes. à la question 1 ; Représenter . On considère le régime permanent d'un oscillateur à un degré de liberté amorti par un frottement visqueux de la forme F.dx / dt et excité par une force sinusoïdale F = f 0.sin(Ω.t). ω 0 2, on tire : d 2 x / dt 2 + 2.λ. NOTION DE STABILITE ANNEXE : Equations différentielles et mouvement harmonique 0903 . Trouvé à l'intérieur – Page 490Cette dernière situation témoigne du fait général selon lequel tout système mécanique possédant un seul degré de liberté et soumis uniquement à une force conservative a le comportement d'un oscillateur harmonique lorsqu'on l'écarte ... L’équation possède une racine double \(r=-\alpha~\omega_0\). Trouvé à l'intérieur – Page 126degrés. de. liberté. (oscillateurs. multiples. linéaires). Dans le cas d'oscillateurs multiples, la situation se ... Cependant, dans l'annexe 2, les matrices sont développées pour le cas particulier d'un oscillateur à cinq masses ... La force de frottement est dirigée en sens inverse du mouvement éventuel pour valeur maximale \(F\). Par extension au plan complexe, on peut représenter l’équation du mouvement par : \[\left\{ \begin{aligned} &z=a~\exp(-\alpha~\omega_0~t)~\exp[j~(\omega t+\varphi)]\\ &\rho=a~\exp(-\alpha~\omega_0~t)\quad;\quad\theta=\omega~t+\varphi \end{aligned} \right.\]. Cet énoncé n'est qu'un résultat particulier du théorème. Modes propres. Soient deux pendules simples identiques oscillant dans le même plan, avec la même pulsation telle que: ω 0 2 = g l {\ .. D- Oscillations forcées amorties à un degré de liberté. Force de frottement visqueux : L'amortisseur C schématise la force visqueuse qui s'oppose au . Rétroaction Oscillateur Systèmes oscillants à un degré de liberté Oscillateur harmonique quantique Oscillations amorties du système Le cas le plus simple est celui d un seul degré de liberté comme un ressort oscillant selon une seule direction ou un pendule oscillant dans à accomplir en page de discussion. II.3.1Vibration de groupe et modes de vibration Trouvé à l'intérieur – Page 1360_ 2M qui est celui d'un oscillateur harmonique isotrope à trois dimensions. On désigne par lwnhny'nÿ l'état propre de H, de valeur propre (n, + n, + n, + 3/2)ñ9. En plus de ces degrés de liberté externes, le noyau possède des degrés de ... sont les racines. Figure N° 2.1: Oscillateur amorti à 1 degré de liberté Force de rappel élastique : Le ressort, de rigidité k et de longueur l o au repos, exerce une force de rappel supposée élastique, proportionnelle à l'allongement du ressort (x - l 0), dirigée suivant ox & et d'intensité -k(x - l 0). L'oscillateur peut être utilisé dans un dispositif de mesure du . Cette variation de période est introduite par l’amortissement. Trouvé à l'intérieur – Page 4II . - UN MODELE PHYSIQUE DE TROMPETTE Au cours d'un séjour à l'IRCAM , W. Strong a conçu et programmé un modèle physique ... Les deux déplacements de la lèvre se représentent mécaniquement par deux oscillateurs à un degré de liberté ... Trouvé à l'intérieur – Page 61L'évolution t→ r(t) est celle d'un syst`eme `a un degré de liberté, de masse unité, dans un champ de potentiel effectif Ue, ... entre rmin (péricentre) et rmax(apocentre) et se calcule en intégrant l'équation drdt = ± √ 2(h − Ue(r)). Trouvé à l'intérieur – Page 97______ Point matériel à un degré de liberté ______ Pour un point M dont seule la coordonnée x varie, ... __Point matériel au voisinage d'une position d'équilibre stable _ E p ( x ) ≈ 1 2 k ( x - xéq ) 2 + cte Ep ( x ) énergie ... Tags # physique spe cours. On voit alors que les maximums et les minimums se placent respectivement : sur l’exponentielle affine de \(x=a~\exp(-\alpha~\omega_0~t)\) dans le rapport \(\sqrt{1-\alpha^2}\) ; sur l’exponentielle affine de \(x=-a~\exp(-\alpha~\omega_0~t)\) dans le même rapport. Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté Méthode générale de résolution des équations de mouvement. 3 0 obj
View TP3-Etude d'un système ayant plus d'un degré de liberté.pdf from MECHANICAL DESIGN ME149 at Business Institute of Australia. Le déplacement des masses a
Chapitre 4: Généralités sur les ondes mécaniques. Modélisation Masse-ressort- Amortisseur des . Cette loi est caractérisée par un paramètre dit degrés de liberté à valeur dans l'ensemble des entiers naturels (non nuls). Oscillations forcées d'un oscillateur mécanique. 12 | Réponse
2 degrés de liberté de rotation 2 degrés de liberté de vibration Gaz monoatomiques C molaire' 3 2 R Gaz diatomiques C ' 5 R Théorème d'équipartition Une molécule diatomique a 7 degrés de liberté hEi molaire ' 7 2 RT problème ! Trouvé à l'intérieur – Page 253Quand elle est allumée, la température s'élève à environ 2000 K. L'énergie volumique s'accroît d'un facteur (2000 K/293 ... L'agitation thermique des atomes des parois du corps noir excite les oscillateurs du champ électromagnétique. Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté Méthode générale de résolution des équations de mouvement. Idlimam. Faisant \(t=0,~v=0\), on voit que A et B sont de signes contraires. Nous étudions dans ce chapitre les systèmes oscillants les plus simples ne comportant qu'un seul degré de liberté. Trouvé à l'intérieur – Page 93Par exemple pour le séisme de Tolmezzo, l'opération est illustrée à la figure 4.15, avec un oscillateur simple ... En effet, d'une part il apparaît évidemment plusieurs forces liées à chaque degré de liberté de la structure (les forces ... Question 2 La souplesse d'un oscillateur mécanique linéaire à un degré de liberté est inversement proportionnelle à la résistance mécanique est inversement proportionnelle à la raideur mécanique augmente avec la masse dépend de la fréquence Question 3 Dans l'approximation des constantes localisées, l'impédance acoustique d'un A et B sont déterminées par les conditions initiales. La solution générale est donc : \[x_1=A~\exp(r_1~t)+B~\exp(r_2~t)\quad;\quad r_1,~r_2<0\]. Entre quelle limite varie
L'importance de l'oscillateur harmonique `a un degré de liberté en physique. Considérations générales. Ainsi, \(\Delta T/T_0=1,25~\%\) seulement, bien que l’amortissement soit considérable. 24 |, Oscillations libres à N degrés de liberté. Le mouvement vers les x positifs se produit si \(-k~a_1>F\). Trouvé à l'intérieur – Page 255On s'intéresse à un système à un degré de liberté (une seule variable d'espace est nécessaire et suffisante pour ... Développement de Taylor au deuxième ordre d'une fonction f au voisinage de a : (a)(x - xa ) + 2 dx2 (a)(x - a) 2 +o ... Trouvé à l'intérieur – Page 120Nous allons maintenant examiner quelques problèmes relatifs à l'oscillateur à un degré de liberté possédant une mémoire du type régulier. L'équation des oscillations sera x + f [x, e"^-» g(x, x) dt] = 0 , avec g[x(0), ... View Oscillateur à N degrés de liberté.pdf from AA 1253 L'équation d'équilibre du système s'écrit sous forme matricielle: Les matrices M, C et K ont pour dimension NxN et les vecteurs Solution de l'équation différentielle (11) III. La force de frottement, en sens inverse du déplacement et d’une valeur constante \(F\) au cours du déplacement, s’ajoute à la résultante des forces appliquées. [Figure 2-a]). lieu suivant cette direction. Comme \(A+B=a_0>0\), donc \(B>0\) et \(A<0\). Deux racines complexes conjuguées : \[(r_1,~r_2)=-\alpha~\omega\pm j~\omega\quad;\quad\omega=\omega_0~\sqrt{1-\alpha^2}\], La solution générale de l’équation est : \[x=\exp(-\alpha~\omega_0~t)~(A~\cos\omega~t+B~\sin\omega~t)\], Solution qui peut être mise sous la forme : \[x=\exp(-\alpha~\omega_0~t)~\sin(\omega~t+\varphi)\quad;\quad (a,~\varphi)~ctes\]. %����
On a constamment : \[|B~\exp(r_2~t)|>|A~\exp(r_1~t)|\quad\Rightarrow\quad x>0\]. Pour l'étude des systèmes à deux degrés de liberté, il est nécessaire d'écrire deux équations différentielles du mouvement que l'on peut obtenir à partir des équations de Lagrange : Un système à 2 degrés de liberté possède 02 coordonnées généralisées, 02 équations différentielles et 02 pulsations propres ( . CHAPITRE II Oscillations libres amorties Système à un degré de liberté 2011-2012 Université Ferhat Abbas -Sétif- Faculté de technologie Tronc commun sciences et techniques N. AKLOUCHE Page 1 CHAPITRE II Oscillations libres amorties : Systèmes à un degré de liberté Introduction: Le pendule lastique comme le pendule pesant, se comporte comme un oscillateur é harmonique à la . Naturellement, le mouvement ne peut se produire que si : \[k~a_0>F\qquad\text{soit :}\quad a_0>\frac{F}{k}\], En vertu du principe de la dynamique, l’équation du mouvement s’écrit : \[m~\frac{d^2x}{dt^2}=-k~x+F\], Moyennant d’un changement de variable : \[\frac{d^2X}{dt^2}~\frac{k}{m}~X=0\qquad\text{avec :}\quad X=x~\frac{F}{k}\], Par intégration : \[X=A~\cos(\omega~t+\varphi)\], Les constantes \(A\) et \(\varphi\) sont déterminées par les conditions initiales : \[t=0\quad;\quad x=a_0\quad;\quad v=0\], D’où : \[v=-A~\omega~\sin\varphi=0\quad;\quad X_0=A~\cos\varphi=a_0-\frac{F}{k}\], \[\begin{aligned} &\varphi=2~K~\pi\quad\quad~~~\Rightarrow\quad~~\cos\varphi=1\quad\Rightarrow\quad A=a_0-\frac{F}{k}\\ &\varphi=\pi+2~K~\pi\quad\Rightarrow\quad\cos\varphi=-1\quad\Rightarrow\quad A=-\Big(a_0-\frac{F}{k}\Big)\end{aligned}\].
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